\documentclass{ctexart}

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\title{Mandelbrot set的生成与探索\cite{P1987H}\cite{1988The}\cite{2006Evolutionary}}


\author{张凌帆 ZhangLingfan \\ 数学与应用数学 3190104913}

\begin{document}

\maketitle
摘要：本文主要是对julia集合进行了探索。首先，我们给除了julia集合的定义和相应的数学理论，然后我们根据相应的理论给出算法以及用代码实现算法之后画出的图像。接下来，我们对这个图像进行了全方位的探索，比如改变其c值观察图像的变化等等，当然，也可以根据自己的喜好对图像的颜色加以变化。生成的图像既具有数学的条理，也具有艺术的美感，让人感受到数学的无限魅力。

\section{问题的背景介绍}
\subsection{Mandelbrot集的介绍}
在上一个报告中，我们展示了表达式生成Mandelbrot集,

$z_{n+1}=z_n^2+z_0$

这是二次递归方程的特例

$z_{n+1}=z_n^2+z_n$

当我们把表达式改成上述公式时，所得的结果就是julia集合了。每一个固定的c都可以生成一个julia图像，所以它的图像可以拥有各种各样的形状。

\subsection{julia的生成与探索}
在本篇文章里，我们主要在复平面上找出julia集合中的点，并且尝试在bmp图像中将它标出。并且对不同的c值生成的不同的图像进行展示，并说明mandelbrot和julia的区别和联系。
\subsection{julia和manderbrot的关系}
由于Mandelbrot集的定义，Mandelbrot集在给定点的几何与相应Julia集的结构之间存在密切的对应关系。换句话说，Mandelbrot集形成了Julia集的一种索引。Julia集是连通或断开的，从Mandelbrot集内选择的c值是连通的，而从Mandelbrot集外选择的c值是断开的。断开连接的集合通常被称为尘埃，它们由单个点组成，无论以何种分辨率查看。

\section{数学理论}
{\bf 定理：} 0的轨道趋向于无穷，当且进当在某些点它的模大于等于2.

这个定理在之前的mandelbrot集合中也运用过，这里对于julia集合仍然适用。


\section{算法}

下面给出一段C++风格的算法，这样更有利于我们用C++实现这个算法：

\begin{lstlisting}[language = Matlab,title={Algorithm-C++-type},  numbers=left, 
    numberstyle=\tiny,keywordstyle=\color{blue!70},
    commentstyle=\color{red!50!green!50!blue!50},frame=shadowbox,
    rulesepcolor=\color{red!20!green!20!blue!20},basicstyle=\ttfamily]
  for(int i=0; i<height; i++) {
  for(int j=0; j<width; j++) {
    complex c = some formula of i and j;
    complex z = 0.;
    for(int n=0; n<N; n++) {
      if(squared_modulus(z)>4) {
        image[i][j]=black;
        goto label;
      }
      z = z*z+c;
    }
    image[i][j]=white;
    label: {}
  }
}
\end{lstlisting}


\section{数值算例}


我们这里用C++实现了上述算法，并且用不同的c值生成了julia图像，下面展示不同的c值下的图像：
（由于技术原因，图片可能出现在下一页）
%\DeclareGraphicsExtension{.bmp}
\begin{figure}[htbp]
\centering
\includegraphics[width=7cm,height=3cm]{julia01.091_00.088.bmp}
\caption{c=（-1.091,-0.088）}
\label{N100}
\end{figure}


\begin{figure}[htbp]
\centering
\includegraphics[width=7cm,height=3cm]{julia-0.498,-0.453.bmp}
\caption{c=（-0.498,-0.453）}
\label{N100}
\end{figure}


\begin{figure}[htbp]
\centering
\includegraphics[width=4cm,height=3cm]{julia-0.6_0.0.bmp}
\caption{c=（-0.6,0.0）}
\label{N100}
\end{figure}





\section{结论}
julia集合在不同的c下可以显现出不同的图像。其图像一般具有很好的对称性，除了数学价值之外还具有一定的艺术性。并且它与mandelbrot集合存在这密切的关联。

\bibliographystyle{plain}
\bibliography{a.bib}

\end{document}



